Question

（2013•西城区一模）记实数x₁，x₂，…，x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…，x_n}．设△ABC的三边边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，定义△ABC的倾斜度为t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}．
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t=

1

；
（ⅱ）设a=1，则t的取值范围是

[1，

1+ 5

2

)

．

Answer 1

分析：（i）分三种a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三种情况加以讨论，分别求出max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}和min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}的值，即可算出总有实数t=1成立，得到本题答案；
（ii）根据题意，可得max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=c且min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

1 b       c＜b2 b c        c≥b2

，因此对c＜b²和c≥b²两种情况加以讨论，利用三角形两边之和大于第三边和不等式的性质进行推导，联解不等式组可得t的取值范围是[1，

1+ 5

2

）．

解答：解：（i）若a=b=c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=1
∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=1；
若a=b＜c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

b

c

∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

•

b

c

=

b

a

=1；
若a＜b=c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

a

b

∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

•

a

b

=

b

c

=1
综上所述，可得若△ABC为等腰三角形，则t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=max{

1

b

，

b

c

，c}=c
而min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

1

b

，

b

c

，c}=

1 b       c＜b2 b c        c≥b2

①当c＜b²时，t=c•

1

b

=

c

b

，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1时，b＜

1

t-1

∵c=tb＜b²，∴t＜b，可得t＜

1

t-1

，解之得1＜t＜

1+ 5

2

而t=1时，b=c＞a=1，符合题意．所以此时t的范围为[1，

1+ 5

2

）
②当c≥b²时，t=c•

b

c

=b，可得
∵1+b＞c且c≥b²，
∴1+b＞b²，解之得1≤b＜

1+ 5

2

即1≤t＜

1+ 5

2

，得此时t的范围为[1，

1+ 5

2

）
综上所述，可得当a=1时，t的取值范围是[1，

1+ 5

2

）．
故答案为：1，[1，

1+ 5

2

）

点评：本题给出三角形三边中任意两边的比值，求它们的最大值与最小值之积的取值范围，着重考查了函数最值的意义、三角形两边之和大于第三边、不等式的基本性质和不等式的解法等知识，属于中档题．