Question

已知函数f(x)=

x

x+1

，若数列{a_n}（n∈N*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足：cn=

2n

an

，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

x

x+1

，知an+1=f(an)=

an

an+1

=

1

1 an +1

，由此求出

1

an+1

-

1

an

=1，从而得到数列{a_n}的通项公式．
（2）由cn=

2n

an

=

2n

1 n

=n2n，知s_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，再由错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项的和S_n．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

x+1

，
∴an+1=f(an)=

an

an+1

=

1

1 an +1

∴

1

an+1

-

1

an

=1，
设bn=

1

an

，
∴b_n+1-b_n=1，b1=

1

a1

=1，
∴{b_n}是等差数列，
∴bn=

1

an

=n，
∴an=

1

n

．
（2）cn=

2n

an

=

2n

1 n

=n2n，
∴s_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ
2s_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
∴2Sn-Sn=Sn=-2-22-23…-2n+n2n+1=-

2(1-2n)

1-2

+n2n+1
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理裂项求和法的合理运用．