Question

图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。

Answer 1

（Ⅰ）60°（Ⅱ）1：6（Ⅲ）60°

（1）如图②，作出MN、PQ

∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°


即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a


∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。