Question

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，
（1）求证：A₁C⊥平面BDE；
（2）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。
（3）设F是CC₁上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF是锐角三角形。

Answer 1

（1）见解析
（2）
(3)见解析

（1）证明：由正四棱柱性质知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，A₁A⊥平面ABCD，
所以B₁C、AC分别是A₁C在平面CC₁B₁B、平面ABCD上的射影
∵ B₁C⊥BE, AC⊥BD, ∴A₁C⊥BE , A₁C⊥BD，   （2分）
∴ A₁C⊥平面BDE    (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A₁C⊥BE , A₁C⊥BD”而推出结论的不扣分)
（2）解：以DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，，，∴，  (6分)
∴            (7分)
设A₁C平面BDE＝K，
由(1)可知，∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成角，(8分)
∴      (9分)
(3)证明：设点F的坐标为（0, 2, z）(0<z≤4), 则，
又|DB|=，故△DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。               (11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB为锐角,             (13分)
即不论点F为CC₁上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分）