Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=t2+ 1 t2 -2 y=t- 1 t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，单位长度示变，建立极坐标系，直线L的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

．
（Ⅰ）试求出曲线C₁和直线L的普通方程；
（Ⅱ）求出它们的公共点的极坐标．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C₁的参数方程消去参数，化为普通方程，把极坐标方程根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线、曲线的直角坐标方程联立方程组，求得交点的直角坐标，再化为极坐标．

解答： 解：（Ⅰ）把曲线C₁的参数方程为

x=t2+ 1 t2 -2 y=t- 1 t

（t为参数），消去参数，
化为普通方程为y2=(t-

1

t

)2=t2+

1

t2

-2=x，即C₁的普通方程为y²=x．
由ρsin(θ+

π

4

)=

2

可得，

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

，即x+y=2．
（Ⅱ）由

y2=x x+y=2

 求得

x=1 y=1

，或

x=4 y=-2

，可得公共点为（1，1）、（4，-2），
所以，公共点的极坐标为(

2

，

π

4

)、(2

5

，2π-arctan

1

2

)．

点评：题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于基础题．