Question

已知函数y=x³-2x²-mx+1在区间（-2，2）上存在单调递减区间，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出y′=3x²-4x-m，由题意得：?x∈（-2，2）使得3x²-4x-m＜0，令f（x）=3x²-4x，只需求出f（x）=3x²-4x的最小值即可，而f（x）min=

-16

3×4

=-

4

3

，从而求出m的范围．

解答： 解：∵y=x³-2x²-mx+1，
∴y′=3x²-4x-m，
∵y=x³-2x²-mx+1在区间（-2，2）上存在单调递减区间，
∴?x∈（-2，2）使得3x²-4x-m＜0，
即?x∈（-2，2）使得m＞3x²-4x，
令f（x）=3x²-4x，
只需求出f（x）=3x²-4x的最小值即可，
而f（x）min=

-16

3×4

=-

4

3

，
∴m的取值范围是（-

4

3

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想的综合运用，考查考查分析与理解能力，属于中档题．