Question

已知命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a≠0），命题q：实数x满足

x-3

x-2

≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=1，不等式为x²-4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
若

x-3

x-2

≤0，则2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即

1＜x＜3 2＜x≤3

，解得2＜x＜3，
则实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）∵x²-4ax+3a²＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，
若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，
∵q：2＜x≤3，
∴若p是q的必要不充分条件，
则a＞0，且

a≤2 3a＞3

，
即1＜a≤2，
则实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．