Question

已知集合A={x|x²+3x-18＞0}，B={x|x²-（k+1）x-2k²+2k≤0}，若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：解一元二次不等式求出集合A，分2k≥1-k 和2k＜1-k两种情况，依据A∩B≠∅，分别求出实数k的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：∵集合A={x|x²+3x-18＞0}={x|（x-3）（x+6）＞0}={x|x＜-6，或 x＞3}，
B={x|x²-（k+1）x-2k²+2k≤0}={x|（x-2k）（x+k-1）≤0}，A∩B≠∅，
∴B≠∅，∴△=（-k-1）²-4（-2k²+2k）≥0，化简得 （3k-1）²≥0，∴k∈R．
当 2k≥1-k 时，即 k≥

1

3

时，有1-k＜-6 或 2k＞3，解得 k＞7．
当 2k＜1-k 时，即 k＜

1

3

时，2k＜-6 或1-k＞3，解得 k＜-3．
综上可得k＜-3 或k＞7，
故实数k的取值范围为（-∞，-3）∪（7，+∞）．

点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．