Question

若函数f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2，其中a＞0且a≠1；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[2，4]，求函数f （log₂x）的最小值及相应x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（log₂a）=b可求出a，再由log₂f（a）=2即可求得b，从而求出解析式；
（2）表示出f （log₂x），配方后利用函数单调性可求最小值及x值．
解答：解：（1）由f（log₂a）=b，得-log₂a+b=b，即-log₂a=0，
解得，log₂a=1或log₂a=0（舍），所以a=2．
由log₂f（a）=2，得f（a）=4，即f（2）=4，
所以2²-2+b=4，解得b=2．
所以函数f（x）=x²-x+2．
（2）f（log₂x）=+2=+，
∵x∈[2，4]，∴log₂x∈[1，2]，
∴当log₂x=1，即x=2时，f（log₂x）的最小值为2．
点评：本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质，属中档题．