Question

设函数f(x)=

1+x2

1-x2

．
①求它的定义域；
②求证：f(

1

x

)=-f(x)；
③判断它在（1，+∞）单调性，并证明．

Answer 1

分析：①由于函数f(x)=

1+x2

1-x2

，故有1-x²≠0，由此求得x的范围，即可得到函数的定义域．
②由 f(x)=

1+x2

1-x2

，把x换成

1

x

 可得 f(

1

x

)=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-f（x）．
③函数f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函数，根据函数的单调性的定义进行证明．

解答：解：①由于函数f(x)=

1+x2

1-x2

，故有1-x²≠0，x≠±1，故函数的定义域为{x|x≠±1}．
②证明：∵f(x)=

1+x2

1-x2

，∴f(

1

x

)=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-f（x）．
③函数f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函数．
证明：设1＜x₁＜x₂＜+∞，
则可得 f（x₁）-f（x₂）=

1+x12

1-x12

-

1+x22

1-x22

=

2(x12-x22)

(1-x12)(1-x22)

．
再由1＜x₁＜x₂＜+∞，可得  x12 -x22＜0，1  -x12＜0，1  -x22＜0，
∴

2(x12-x22)

(1-x12)(1-x22)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f(x)=

1+x2

1-x2

在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．