Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+b．函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x+1，
（1）求a，b的值；
（2）问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=2x+1可知，f′（1）=2，f（1）=3，可解a、b的值；
（2）转化成g′（x）=0在（t，3）上有实数根，列出等价条件，求出m的取值范围．

解答： 解：（1）因为函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
所以f'（1）=2，所以a=-2，则 f（1）=4+b代入切线可得b=-1，
（2）g(x)=x3+x2(

m

2

+4-

2

x

)=x3+(

m

2

+4)x2-2x，g'（x）=3x²+（m+8）x-2，
因为任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，
又g'（0）＜0，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

49

3

＜m＜-13．

点评：本题考查的是导数在求切线，判断函数的单调性极值方面的应用，属于中档题．