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已知函数f(x)=x2-ax+2lnx(其中a是实数).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若2(
e
+
1
e
)<a<5
,且f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求|f(x1)-f(x2)|的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
(Ⅰ)∵f(x)=x2-ax+2lnx(x>0),∴f′(x)=2x-a+
2
x
=(2x+
2
x
)-a≥4-a;
∴①当4-a≥0,即a≤4时,f'(x)≥0,f(x)是增函数,增区间为(0,+∞);
②当a>4时,f′(x)=
2x2-ax+2
x

△=a2-16>0,x1+x2=
a
2
>0,x1x2=1>0
,∴0<x1<x2
∴f(x)的增区间为(0,
a-
a2-16
4
),(
a+
a2-16
4
,+∞)
,减区间为(
a-
a2-16
4
a+
a2-16
4
)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(x1,x2)内递减,∴f(x1)>f(x2);
x2=
1
x1
x1
,∴0<x1<1;
2(
e
+
1
e
)<a=2(x1+x2)=2(x1+
1
x1
)<5=2(2+
1
2
)

y=2(x1+
1
x1
)
在(0,1)上递减,
1
2
x1
1
e

|f(x1)-f(x2)|=-
a
2
(x1-x2)+2ln
x1
x2
=
1
x21
-
x21
+4lnx1

g(x1)=
1
x21
-
x21
+4lnx1
(
1
2
x1
1
e
)

g′(x1)=-
2(
x21
-1)
2
x31
<0
,∴g(x1)在(
1
2
1
e
)
上递减;
|f(x1)-f(x2)|∈(e-
1
e
-2,
15
4
-4ln2)
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已知函数f(x)=xlnx,g(x)=
x
ex
-
2
e

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1
2
,1)
上的最大值为
3
8
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.

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若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈[0,
π
2
]
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(Ⅲ)若对任意的正数b,关于x的不等式
2f(x)
ex-1
3exln
xb
em
在区间[1,e]上恒成立,求实数m的取值范围.

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已知函数f(x)=x2+
2
x
,g(x)=(
1
2
)x+m
,若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是______.

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由曲线的边界所围成区域的面积为         

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