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已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在x∈[-
1
2
,1)
上的最大值为
3
8
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
(1)由f(x)=-x3+x2+b,得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f′(x)=0,得x=0或
2
3

列表如下:
x-
1
2
(-
1
2
,0)
0(0,
2
3
)
2
3
(
2
3
,1)
f′(x)-0+0-
f(x)f(-
1
2
)
极小值极大值
f(-
1
2
)=
3
8
+b
f(
2
3
)=
4
27
+b

f(-
1
2
)>f(
2
3
)

即最大值为f(-
1
2
)=
3
8
+b=
3
8
,∴b=0.…(4分)
(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x.
∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x,且等号不能同时取,
∴lnx<x,即x-lnx>0,
a≤
x2-2x
x-lnx
恒成立,即a≤(
x2-2x
x-lnx
)min

t(x)=
x2-2x
x-lnx
,(x∈[1,e])
,求导得,t′(x)=
(x-1)(x+1-2lnx)
(x-lnx)2

当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+1-2lnx>0,从而t′(x)≥0,
∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴tmin(x)=t(1)=-1,∴a≤-1.…(8分)
(3)由条件,F(x)=
-x3+x2,x<1
alnx,x≥1

假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,
不妨设P(t,F(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2),且t≠1.
∵△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,∴
OP
OQ
=0

∴-t2+F(t)(t3+t2)=0…(*),…(10分)
是否存在P,Q等价于方程(*)在t>0且t≠1时是否有解.
①若0<t<1时,方程(*)为-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4-t2+1=0,此方程无解;…(11分)
②若t>1时,(*)方程为-t2+alnt•(t3+t2)=0,即
1
a
=(t+1)lnt

设h(t)=(t+1)lnt(t>1),则h′(t)=lnt+
1
t
+1

显然,当t>1时,h′(t)>0,即h(t)在(1,+∞)上为增函数,∴h(t)的值域为(h(1),+∞),即(0,+∞),∴当a>0时,方程(*)总有解.
∴对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…(14分)
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x
>0
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1
x
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A.0B.1C.2D.3

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1+lnx
x

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a
2
,a+
1
2
)
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(2)设g(x)=xf(x)+bx-1+ln(2-x
)
(b>0)
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1
2
,求实数b的值.

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,2]上的最大值、最小值分别是______.

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1
3
x3
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A.
32
3
B.
16
3
C.12D.9

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x2
2
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x2
2
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(2)当x∈[1,+∞)时,若f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3
2
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e
+
1
e
)<a<5
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