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    函数f(x)=2x2-
    1
    3
    x3    在区间[0，6]上的最大值是（　　）
    A．
    32
    3
    		B．
    16
    3
    		C．12D．9
    f'（x）=4x-x2=-x（x-4），
    当0≤x＜4时，f'（x）≥0，f（x）递增；
    当4＜x≤6时，f'（x）＜0，f（x）递减；
    ∴x=4时f（x）取得极大值，也即最大值，
    ∴f（x）max=f（4）=2×16-
    1
    3
    ×43    =
    32
    3
    ，
    故选：A．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    曲线y=x3+1在x=0处的切线的斜率是（　　）
    A．-1B．0C．
    1
    2
    		D．1

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=
    1
    3
    x3+
    1-a
    2
    x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
    （1）求函数f（x）的单调区间；
    （2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
    （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC=
    1
    2
    r    ，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在
    AB
    上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=x3-
    1
    2
    x2+bx+c    ，且f（x）在x=1处取得极值．
    （1）求b的值；
    （2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围；
    （3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
    （1）若f（x）在x∈[-
    1
    2
    ，1)    上的最大值为
    3
    8
    ，求实数b的值；
    （2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，设F(x)=
    f(x)，x＜1
    g(x)，x≥1
    ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
    （1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
    （2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
    （3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
    1
    x1
    -
    1
    x2
    |    ，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
    （1）求f（x）的最小值；
    （2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1-x
    ax
    +lnx    ．
    （Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
    （Ⅱ）若a=1，k∈R且k＜
    1
    e
    ，设F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函数F（x）在[
    1
    e
    ，e]    上的最大值和最小值．

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