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已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a=1,k∈R且k<
1
e
,设F(x)=f(x)+(k-1)lnx,求函数F(x)在[
1
e
,e]
上的最大值和最小值.
(Ⅰ)由题设可得f′(x)=
ax-1
ax2
(a>0)

因为函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以当x∈[1,+∞)时,不等式f′(x)=
ax-1
ax2
≥0
,即a≥
1
x
恒成立
因为当x∈[1,+∞)时,
1
x
的最大值为1,所以实数a的取值范围是[1,+∞)-----(4分)
(Ⅱ)a=1时,f(x)=
1-x
x
+lnx
F(x)=
1-x
x
+lnx+(k-1)lnx=
1-x
x
+klnx

所以,F(x)=
(1-x)x-(1-x)x
x2
+
k
x
=
kx-1
x2
…(6分)
(1)若k=0,则F′(x)=
-1
x2
,在[
1
e
,e]
上,恒有F'(x)<0,所以F(x)在[
1
e
,e]
上单调递减
F(x)min=F(e)=
1-e
e
F(x)max=F(
1
e
)=e-1
…(7分)
(2)k≠0时,F(x)=
kx-1
x2
=
k(x-
1
k
)
x2

(i)若k<0,在[
1
e
,e]
上,恒有
k(x-
1
k
)
x2
<0
,所以F(x)在[
1
e
,e]
上单调递减
F(x)min=F(e)=
1-e
e
+klne=
1-e
e
+k=
1
e
+k-1
F(x)max=F(
1
e
)=e-k-1
…(9分)
(ii)k>0时,因为k<
1
e
,所以
1
k
>e
(x-
1
k
)<0
,所以
k(x-
1
k
)
x2
<0
,所以F(x)在[
1
e
,e]
上单调递减
F(x)min=F(e)=
1-e
e
+klne=
1-e
e
+k=
1
e
+k-1
F(x)max=F(
1
e
)=e-k-1
…(11分)
综上所述:当k=0时,F(x)min=
1-e
e
,F(x)max=e-1;当k≠0且k<
1
e
时,F(x)max=e-k-1,F(x)min=
1
e
+k-1
.…(12分)
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3
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