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已知函数f(x)=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a,)
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,
f(-2)<0
f(-1)>0
f(0)<0
,∴
-
2
3
-a<0
1
6
-
a
2
>0
-a<0
,∴0<a<
1
3

∴a的取值范围为(0,
1
3
)

(3)a=1时,f(x)=
1
3
x3-x-1
,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-
1
3
,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t)
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-
5
3
,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-
1
3
-(-
5
3
)=
4
3

②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-
5
3
,f(-1)=f(2)=-
1
3

∴M(t)=f(-1)=-
1
3
,m(t)=f(1)=-
5
3

∴g(t)=M(t)-m(t)=
4
3

综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
4
3
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m
x
,g(x)=2lnx
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1
3
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1+lnx
x

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a
2
,a+
1
2
)
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)
(b>0)
,若g(x)在(0,1]上的最大值为
1
2
,求实数b的值.

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已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+cx+d在x=2处取得极值.
(1)求c的值;
(2)当x<0时,f(x)<
1
6
d2+2d恒成立,求d的取值范围.

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函数f(x)=2x2-
1
3
x3
在区间[0,6]上的最大值是(  )
A.
32
3
B.
16
3
C.12D.9

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