(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),令f′(x)=0,可得x
1=-1,x
2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a,)
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,
∴
,∴
,∴0<a<
∴a的取值范围为
(0,);
(3)a=1时,f(x)=
x3-x-1,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-
,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t)
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-
,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为
g(-2)=--(-)=②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-
,f(-1)=f(2)=-
∴M(t)=f(-1)=-
,m(t)=f(1)=-
∴g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
.