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    有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？
    据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，
    设C点距D点xkm，如图所示，则BD=40，AC=50-x，
    ∴BC=
    		BD2+CD2
    =
    		402+x2
    又设总的水管费用为y元，
    由题意得y=3a（50-x）+5a
    		x2+402
    （0＜x＜50），
    y′=-3a+
    5ax
    		x2+402
    令y′=0解得x=30．
    在（0，50）上，y只有一个极值点，
    根据实际意义，函数在x=30（km）处取得最小值，
    此时AC=50-x=20（km），
    答：供水站C建立在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某厂生产产品x件的总成本c（x）=
    1
    12
    x3    （万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：P2=
    k
    x
    ，生产1件这样的产品单价为16万元．
    （1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
    （2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC=
    1
    2
    r    ，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在
    AB
    上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
    （1）若f（x）在x∈[-
    1
    2
    ，1)    上的最大值为
    3
    8
    ，求实数b的值；
    （2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，设F(x)=
    f(x)，x＜1
    g(x)，x≥1
    ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
    （1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
    （2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
    （3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
    1
    x1
    -
    1
    x2
    |    ，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈[0，
    π
    2
    ]    都成立，则a2-a1的最小值为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
    （1）求f（x）的最小值；
    （2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知函数f(x)=x2+
    2
    x
    ，g(x)=(
    1
    2
    )x+m    ，若?x1∈[1，2]，?x2∈[-1，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若，则的大小关系为（   ）
    A．B．C．D．

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