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设函数f(x)=
x2
2
-2ax+3lnx.(0<a<3)
(1)当a=2时,求函数f(x)=
x2
2
-2ax+3lnx的单调区间.
(2)当x∈[1,+∞)时,若f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3
2
恒成立,求a的取值范围.
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=2时,f′(x)=
(x-3)(x-1)
x

当x∈(0,1]时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
当x∈(1,3]时,f′(x)<0,f(x)为减函数.
当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
∴函数f(x)单调增区间为(0,1],(3,+∞),单调减区间为(1,3];
(2)∵f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3
2

x2
2
-2ax+5xlnx+
3
2
≥0,
∵x∈[1,+∞),
x2
2
+5xlnx+
3
2
≥2ax,
x
4
+
5lnx
2
+
3
4x
≥a,
令g(x)=
x
4
+
5lnx
2
+
3
4x
,则g′(x)=
x2+10x-3
4x2

∵x∈[1,+∞),
∴x2+10x-3>0,
∴x∈[1,+∞)时,g′(x)>0,
∴g(x)在x∈[1,+∞)上为增函数,
∴g(x)≥g(1)
1
4
+
3
4
=1≥a,
∴0<a≤1.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a、b∈R).
(1)当a=0,b=-3时,求函数f(x)在[-1,3]上的最大值;
(2)若函数f(x)在x=1处有极值10,求f(x)的解析式;
(3)当a=-2时,若函数f(x)在[2,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

函数f(x)=
x2+a
x+1
(a∈R)

(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为
1
2
,求实数a的值;
(2)若f(x)在x=1取得极值,求函数f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在x∈[-
1
2
,1)
上的最大值为
3
8
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈[0,
π
2
]
都成立,则a2-a1的最小值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A,B是函数y=ax(a>1)在y轴右侧图象上的两点,分别过A,B作y轴的垂线与y轴交于E,F两点,与函数y=ex的图象交于C,D两点,且A是CE的中点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当直线BC与y轴平行时,设B点的横坐标为x,四边形ABDC的面积为f(x),求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若对任意的正数b,关于x的不等式
2f(x)
ex-1
3exln
xb
em
在区间[1,e]上恒成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

等于(    )
A.B.2C.-2D.+2

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