Question

已知椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M（

a2

c

，0），若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），几何性质，得出PQ=

2b2

a

，
再利用正三角形得出

a2

c

-c=

3

2

（

2b2

a

），即可求出离心率．

解答： 解：∵椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点
∴P（c，

b2

a

），Q（c，-

b2

a

），∵△PQM为正三角形
∴

a2

c

-c=

3

2

（

2b2

a

），
∵a²=b²+c²，
∴

c

a

=

3

3

，
故答案为：

3

3

，

点评：本题考察了直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，属于中档题，计算量不大．