Question

已知函数f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，（x∈R）
①函数是以π为最小正周期的周期函数；
②函数图象关于直线x=-

π

6

对称；  
③函数的一个对称中心是（-

π

12

，0）；
④函数在闭区间[-

π

6

，

π

6

]上是增函数； 
写出所有正确的命题的题号：

①③④

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可进行判断

解答：解：∵f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，
=2（2cos²x-1）+2

3

•2sinxcosx
=2cos2x+2

3

sin2x
=4sin（2x+

π

6

）
①T=

2π

2

=π，正确
②根据函数在对称轴处取得最值，可知当x=-

π

6

时，函数值不是最值，错误
③令2x+

π

6

=kπ，k∈Z可得x=

kπ

2

-

π

12

，可知函数的一个对称中心为（-

π

12

，0），正确
④令-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

6

≤

1

2

π+2kπ，k∈z可得，-

1

3

π+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，从而可得，当k=0时，函数的单调递增区间为[-

1

3

π，

1

6

π]，而[-

π

6

，

π

6

]⊆[-

1

3

π，

1

6

π]，正确
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键