Question

（2005•上海模拟）设f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）：
（2）讨论f^-1（x）在（1．+∞）上的单调性，并加以证明：
（3）令g（x）=1+log_ax，当[m，n]?（1，+∞）（m＜n）时，f^-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，由求反函数的规则解出f^-1（x）．
（2）由（1）f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)，此是一个复合函数函数，外层函数的单调性要由底数a的取值范围确定，要分两类讨论，内层函数的单调性可由定义法证明，再由复合函数的单调性判断出函数的单调性即可．
（3）本题要按a的取值范围分两类求解，当0＜a＜1时，g（x）=1+log_ax是一个减函数，由（2）f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数故可得

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

从中解出a的取值范围，当a＞1时，同理可得

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

，解出a的取值范围，再并起来即可得到符合条件的参数的取值范围．

解答：解：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，解得f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)
（2）设1＜x₁＜x₂，∵

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0
∴0＜a＜1时，f^-1（x₁）＞f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数：
a＞1时，f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是增函数．
（3）当0＜a＜1时，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，即有loga

x-1

x+1

=1+logax得

x-1

x+1

=ax，即ax²+（a-1）x+1=0，可知方程的两个根均大于1，故有

△＞0 f(1)＞0 1-a 2a ＞1

⇒0＜a＜3-2

2

，
当a＞1时，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是增函数，
∴

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

⇒

m-1=amn+an n-1=amn+am

⇒a=-1（舍去）．   
综上，得 0＜a＜3-2

2

．

点评：本题考查对数函数的综合运用，考查了反函数的求法，复合函数单调性的判断，利用单调性确定函数的最值，解题的关键是理解对数的单调性，利用单调性判断出最值，由最值得出方程，解出参数的取值范围，分类讨论得出函数的单调性是本题的重点，本题难点出现在第三小题，由

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，转化出loga

x-1

x+1

=1+logax，题后注意体会规律．