Question

已知函数f（x）=

2a+1

a

-

1

a2x

，常数a＞0．
（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）先在m，n]上任取两变量x₁，x₂，且界定大小，再作差f（x₁）-f（x₂）变形看符号；
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，得出m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的两个不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．利用根的判断式求得a的范围，最后利用二次函数的性质求出n-m的最大值即可．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

a2

•

x1-x2

x1x2

，
因为x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的两个不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，因为a＞0，所以a＞

1

2

．
∴n-m= 

1

a

4 a2+4 a-3

=

-3 (  1 a - 2 3  )2+ 16 3

 ，  a∈( 

1

2

 ， +∞ )，
∴a=

3

2

时，n-m取最大值

4 3

3

．

点评：本题主要考查用单调性定义证明函数的单调性，函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．