(本题满分12分) 如图,在正方体中,E、F分别是棱的中点.
(1)证明;
(2)求与所成的角;
(3)证明:面面.
方法1(坐标法解答前两问)
(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系,设正方体的棱长为2a,则由条件可得 (1分)
D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0),A1(2a,0,2a)
=(-2a,0,0), =(0, a, -2a),
∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0, ∴,即。 (4分)
(2)解:∵,=(0, a, -2a),
∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0
∴cos<,>==0,
即,的夹角为90°,所以直线AE与D1F所成的角为直角。.(8分)
(3)证明:由(1)、(2)知D1F⊥AD,D1F⊥AE, 而AD∩AE=A,
∴D1F⊥平面AED,
∵D1F平面A1FD1 ∴平面AED⊥平面A1FD1. (12分)
方法2(综合法)
证明:因为AC1是正方体,所以AD⊥面DC1。
又DF1DC1,所以AD⊥D1F. (4分)
取AB中点G,连结A1G,FG,
因为F是CD的中点,所以GF∥AD,
又A1D1∥AD,所以GF∥A1D1 故四边形GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H,则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。 (8分)
(3)与上面解法相同。
科目:高中数学 来源: 题型:
π | 2 |
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年上海市金山区高三上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
已知集合A={x| | x–a | < 2,xÎR },B={x|<1,xÎR }.
(1) 求A、B;
(2) 若,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年安徽省高三10月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)
设函数(,为常数),且方程有两个实根为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年重庆市高三第二次月考文科数学 题型:解答题
(本题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问6分,(Ⅲ)小问2分.)
如图所示,直二面角中,四边形是边长为的正方形,,为上的点,且⊥平面
(Ⅰ)求证:⊥平面
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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