Question

11．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其右焦点为F（1，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知$\overrightarrow{PF}$与$\overrightarrow{FQ}$共线，$\overrightarrow{MF}$与$\overrightarrow{FN}$共线，且$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{MF}$=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由c=1，由椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线PQ的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，将-$\frac{1}{k}$代入丨PQ丨，求得丨MN丨，则S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨，根据函数的单调性即可求得四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由c=1，则a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），
且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），
则PQ的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₁=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，于是$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+{k^2}）}}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
同理：$|{MN}|=\sqrt{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}\frac{{\sqrt{8[1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}]}}}{{1+2{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+{k^2}）}}}{{{k^2}+2}}$．
则S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨=$\frac{4（2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}{5+2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}}$，令t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$，T≥2，
S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨=$\frac{4（2+t）}{5+2t}$=2（1-$\frac{1}{5+2t}$），当k=±1时，t=2，S=$\frac{16}{9}$，且S是以t为自变量的增函数，
当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值$\frac{16}{9}$．
当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．
综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为$\frac{16}{9}$和2．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与函数单调性及最值得综合应用，考查计算能力，属于中档题．