Question

16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB
（1）求角B的大小
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB$，由于sinA≠0，可求tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．
（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a²+c²-ac，联立即可解得a，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由$bsinA=\sqrt{3}acosB$及正弦定理得：$sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB$．
∵sinA≠0，
∴$sinB=\sqrt{3}cosB⇒tanB=\sqrt{3}$，
而B∈（0，π），
故$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由sinC=2sinA及$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得c=2a，①．
又b=3，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得9=a²+c²-ac，②
由①②得$a=\sqrt{3}，c=2\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．