Question

8．下表是某校高三一次月考5个班级的数学、物理的平均成绩：

班级	1	2	3	4	5
数学（x分）	111	113	119	125	127
物理（y分）	92	93	96	99	100

（Ⅰ）一般来说，学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）从以上5个班级中任选两个参加某项活动，设选出的两个班级中数学平均分在115分以上的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回归系数，即可求两个变量x，y的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．求出相应概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\overline x=119$，$\overline y=96$$\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）=100$，$\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}=200$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=0.5$，$a=\overline y-b\overline x=36.5$，
故所求的回归直线方程为y=0.5x+36.5．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．
$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，$P（{X=1}）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}$，$P（{X=2}）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，
所以，X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

$EX=\frac{1}{10}×0+\frac{6}{10}×1$$+\frac{3}{10}×2=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查回归方程，考查分布列和数学期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．