Question

8．在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标，设F（x，4），利用向量的数量积求出F，然后求解所求向量的数量积．

解答 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0），B（2$\sqrt{2}$，0），C（2$\sqrt{2}$，2），D（0，2），E（$\sqrt{2}$，2），
设F（x，2），则$\overrightarrow{AB}$=（2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（x，4），
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$，则x=1，即F（1，4），$\overrightarrow{BF}$=（1-2$\sqrt{2}$，4），
$\overrightarrow{AE}$=（$2\sqrt{2}$，2），
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（2$\sqrt{2}$，2）•（1-$2\sqrt{2}$，4）=2$\sqrt{2}$-8+8=$2\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查平面向量的数量积的运算，以及向量的模的平方即为向量的平方，考查坐标法解决向量问题，属于中档题．