Question

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是4³，
满足条件的事件数是A₄³，
∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P₁==
（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2==
（Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）==；
P（ξ=1）==；
P（ξ=2）==；
P（ξ=3）==．
∴ξ的分布列为：

∴期望Eξ=0×+1×=．
分析：（1）这是一个古典概型问题，根据分步计数原理总事件数是4³，满足条件的事件数是A₄³，代入古典概型公式得到结果．
（2）本题的总是件数同前面，满足条件的事件数是C₄²C₃²A₂²，代入公式得到结果．
（3）某一选择修课这3个学生选择的人数为0，1，2，3，类似于前面所说，求出各种不同情况下对应的概率，写出分布列，算出期望．
点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．