Question

12．在侧棱长为a的正三棱锥S-ABC中，∠BSA=$\frac{π}{2}$，P为△ABC内一动点，且P到三个侧面SAB，SBC，SCA的距离为d₁，d₂，d₃．若d₁+d₂=d₃，则点P形成曲线的长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

Answer 1

分析 根据题意，把该三棱锥还原为棱长为a的正方体中，画出图形，结合图形得出点P形成的曲线是△ABC的一条中位线，由此求出它的长度．

解答 解：侧棱长为a的正三棱锥S-ABC中，∠BSA=$\frac{π}{2}$，
∴∠BSC=∠ASC=$\frac{π}{2}$，
把该三棱锥还原为棱长为a的正方体中，如图所示；
又P为△ABC内一动点，P到三个侧面SAB，SBC，SCA的距离为d₁，d₂，d₃；
当d₁+d₂=d₃时，点P在AB的中点与AC的中点所组成的△ABC的中位线上时，
满足条件，所以点P形成曲线的长度为$\frac{1}{2}$BC=$\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题考查了空间位置关系与距离的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，考查了空间想象能力的应用问题．