Question

已知数列的首项．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数的值；
（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明过程见解析;（2）最大正整数的值为100;（3）满足题意的正整数不存在.

试题分析：（1）由已知条件构造出，据等比数列的定义知数列为等比数列；（2）由等比数列的通项公式求出的通项公式.易得出，再解出即可;（3）假设存在，可得，由通项公式代入化简可得，因为，当且仅当时等号成立，又互不相等，则不存在.
试题解析：解：（1）因为，所以
又因为，所以，所以数列为等比数列.    4分
（2）由（1）可得，所以，
，
若，则，所求最大正整数的值为100.    9分
（3）假设存在满足题意的正整数，
则，，
因为，所以，
化简得，，因为，
当且仅当时等号成立，又互不相等，
所以满足题意的正整数不存在.      14分