Question

设函数f(x)=x+

alnx

x

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）令lnx=0得到x=1=f（x）得到函数过定点；
（2）当a=-1时求出函数的导函数观察发现x=1时g（x）=0且为唯一根，根据x的范围讨论函数的增减性得到x=1是函数的唯一极值点，求出f（1）即为最小值；（3）y=f（x）恒为定义域上的增函数即要证f^/（x）f/(x)=1+

a-alnx

x2

=

x2-alnx+a

x2

大于零，利用导数研究函数h（x）=x²-alnx+a的最小值都比0大即可．

解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-

lnx

x

，f/(x)=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

令g（x）=x²+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+

1

x

，
当x＞0时，g^/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=

g(x)

x2

＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=

g(x)

x2

＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-

ln1

1

=1．
（3）f/(x)=1+

a-alnx

x2

=

x2-alnx+a

x2

，令h（x）=x²-alnx+a
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=

2x2-a

x

=

2(x- a 2 )(x+ a 2 )

x

当x∈(0，

a 2 )

时，h^/（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈(

a 2

，+∞)时，h^/（x）＞0，h（x）是增函数；
所以当x=

a 2

时，h（x）有极小值，也是最小值h(

a 2

)=(

3

2

-ln

a 2

)a，
又由h（x）≥0得(

3

2

-ln

a 2

)a≥0，得a≤2e³，即m的最大值为2e³．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性及研究函数极值的能力，以及应用函数单调性的能力．