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    已知椭圆+=1(a>b>0),点P（a,a）在椭圆上.

    (1)求椭圆的离心率;

    (2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.

     

    【答案】

    (1) (2) k=±

    【解析】

    解:(1)∵点P（a,a）在椭圆上,

    ∴+=1整理得=.

    ∴e==

    =

    ==

    =.

    (2)由题意可知,点A坐标为(-a,0),|AO|=a.

    设直线OQ的斜率为k,

    则其方程为y=kx,

    设点Q坐标为(x0,y0).

    则

    消去y0,整理得=①

    由|AQ|=|AO|得(x0+a)2+k2=a2.

    整理得(1+k22ax0=0.

    由于x0≠0,

    得x0=-.②

    把②代入①得=,

    整理得(1+k2)2=4k2·+4.

    由(1)知=,

    故(1+k2)2=k2+4,

    即5k4-22k2-15=0,

    解得k2=5.

    ∴直线OQ的斜率k=±.

     

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