Question

已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为，直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上， = +，求椭圆的方程.

Answer 1

+y²=1

解析:

由e=得a²=4b²,椭圆可化为:

x²+4y²=4b².

将y=x+1代入上式，消去y并整理得：

x²+2x+2-2b²=0.                                                                                         ①

∵直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，

∴Δ=4-4（2-2b²）＞0,∴b＞.

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),M(x,y),则由

= +,

得.

∵M在椭圆上，∴（x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²=4b²,

∴x₁x₂+4y₁y₂=0.

∴x₁x₂+·4=0，

即x₁x₂+(x₁+x₂)+2=0                                                      ②

又由①知x₁+x₂=-2,x₁·x₂=2-2b²,

代入②中得b²=1,满足b＞.

∴椭圆方程为+y²=1.