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    已知椭圆+=1(a＞b＞0)内有一点A,F1为左焦点,F2为右焦点,在椭圆上求一点P,使|PF1|+|PA|取得最值.

    思路解析：求曲线上一动点与某定点距离之和的最值,往往是利用几何变换,使得P、F1、A三点共线，或构建三角形，利用三角形的性质确定大小，进而确定最值的.

    解：如图，设AF2与椭圆交于P1、P2两点，点M是椭圆上不同于P1、P2的任意一点.

    根据椭圆的定义,得|P1F1|+|P1F2|=2a,

     ∴|P1F1|+|P1A|=|P1F1|+|P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.

    在△AMF2中，|MA|＜|MF2|+|F2A|，

    ∴|MF1|+|MA|＜|MF1|+|MF2|+|F2A|=2a+|F2A|.

    ∵点M是椭圆上任意一点，∴|MF1|+|MA|＜2a+|F2A|,

    ∴|MF1|+|MA|＜|P1F1|+|P1A|.

    点P1是使|PF1|+|PA|取得最大值的点.

    同理,|P2F1|+|P2A|=|P2F1|+|P2F2|-|AF2|=2a-|AF2|.

    在△AMF2中，|MA|＞|MF2|-|AF2|.

    ∴|MF1|+|MA|＞|MF1|+|MF2|-|AF2|=2a-|AF2|.

    ∴|MF1|+|MA|＞|P2F1|+|P2A|.

    ∴点P2是使|PF1|+|PA|取得最小值的点.


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