Question

【题目】已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值；
（2）若a≥1，证明：x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 都有 ＞14成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）= +2x+6a，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，则 ，

解得： 或 ，

则a，b的值0，1或﹣ ，

（2）解：证明：①当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，欲证：x1，x2∈（0，+∞），都有 ＞14成立，

只需证x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，

只需证x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，

构造函数h（x）=f（x）﹣14x，则h′（x）=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，则h′（x）=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴h（x）在（0，+∞）内单调递增，则h（x2）＞h（x1）成立，

∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，则 ＞14成立；

②当x1＞x2时，则x2﹣x2＜0，

欲证：x1，x2∈（0，+∞），都有 ＞14成立，

只需证x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，

只需证x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，

构造函数H（x）=f（x）﹣14x，则H′（x）=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，则H′（x）=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴H（x）在（0，+∞）内单调递增，则H（x2）＜H（x1）成立，

∴ ＞14成立，

综上可知：x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有 ＞14成立

【解析】（1）求导，由题意可知 ，即可求得a，b的值；（2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论．