Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点(0，

3

)作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别与曲线C交于A，B和CD．
①以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的k值，若不能说明理由；
②求四边形ABCD面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）P（x，y）根据椭圆的定义可推断点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆，进而可求得短半轴b，椭圆方程可得．
（2））①设直线l1：y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程和椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据以线段AB为直径的圆过坐标原点，推断出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k．
②由①可求得|AB|的表达式，进而把k换为-

1

k

求得|CD|表达式进而得到四边形ABCD的面积，令k²+1=t，根据t的范围可确定四边形ABCD的面积的范围，最后看当直线l₁或l₂的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时四边形ABCD的面积为2，综合可得答案．

解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）①设直线l1：y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3 .

消去y并整理得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
故x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，x1x2=-

1

k2+4

．
以线段AB为直径的圆过坐标原点，则

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+

3

k(x1+x2)+3，
于是x1x2+y1y2=-

1

k2+4

-

k2

k2+4

-

6k2

k2+4

+3=0，
化简得-4k²+11=0，所以k²=

11

4

．
②由①，|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4 k2+1

k2+4

=

4(k2+1)

k2+4

，
将上式中的k换为-

1

k

得|CD|=

4(k2+1)

4k2+1

，
由于AB⊥CD，故四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AB||CD|=

8(1+k2)2

(k2+4)(4k2+1)

，
令k²+1=t，则S=

8t2

(t+3)(4t-3)

=

8t2

4t2+9t-9

=

8

-9( 1 t )2+9( 1 t )+4

=

8

-9( 1 t - 1 2 )2+ 25 4

，
而

1

t

∈(0，1)，故4＜-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

≤

25

4

，故

32

25

≤S＜2，
当直线l₁或l₂的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，不难验证此时四边形ABCD的面积为2，
故四边形ABCD面积的取值范围是[

32

25

，2]．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．