Question

已知曲线C₁：y=ax²，（a＞0）上一点A（1，a）到原点的距离是

26

，过原点O作OM、ON交C₁于M、N两点，直线MN交y轴于点Q（0，y₀），
（1）求曲线C₁的方程；（2）当∠MON为锐角时，求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

1+a2

=

26

，故a=5，故曲线C₁的方程为 y=5x²．
（2）设M （m，5m² ）、N （n，5n² ），则由直线MN的方程求出y₀=-5mn，由∠MON为锐角可得

OM

•

ON

＞0，可得 mn＜-

1

25

，或 mn＞0，从而求得y₀的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得

1+a2

=

26

，∴a=5，故曲线C₁的方程为 y=5x²．
（2）设M （m，5m² ）、N （n，5n² ），则直线MN的方程为 

y-5n2

5m2-5n2

= 

x-n

m-n

，
令 x=0，可得 y₀=-5mn．
由∠MON为锐角可得

OM

•

ON

=mn+25m²n²＞0，∴mn＜-

1

25

，或 mn＞0，
∴y₀＜0，或  y₀＞

1

5

，
故y₀的取值范围是(-∞，0)∪(

1

5

，+∞)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，求出 mn＜-

1

25

，或 mn＞0，是解题的关键．