Question

（2013•宁波二模）已知曲线C₁：y=x²+4和C₂：y=2x-x²，直线l₁与C₁、C₂分别相切于点A、B，直线l₂（不同于l₁）与C₁、C₂分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是

1

2

．

Answer 1

分析：抛物线C₁的方程是y=x²+4，和C₂：y=2x-x²，由题意知曲线C₂与C₁关于AB与CD交点对称，得AB与CD交点即为两抛物线的对称中心．求出抛物线C₁和抛物线C₂的顶点坐标，再求出它们连线段的中点即可得出正确答案．

解答：解：∵C₁：y=x²+4和C₂：y=2x-x²，分别由抛物线y=x²经过平移或对称变换而得，它们是全等的图形，从而具有对称中心，又直线l₁与l₂分别是它们的公切线，根据对称性知，直线l₁与l₂也关于对称中心对称，从而曲线C₂与C₁关于AB与CD交点对称，AB与CD交点即为两抛物线的对称中心．如图．
由于抛物线C₁和抛物线C₂的顶点坐标分别为M（0，4），N（1，1），
线段MN的中点的横坐标为x=

0+1

2

=

1

2

．即两抛物线的对称中心的横坐标为

1

2

．
故答数为：

1

2

．

点评：本题考查曲线方程，考查曲线的对称性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．