【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为,
,消去参数可知曲线是圆心为,半径为的圆,由直线与曲线相切,可得: ;则曲线C的方程为, 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
可得曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
由此可求面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为,
曲线是圆心为,半径为的圆,直线与曲线相切,可得: ;可知曲线C的方程为,
所以曲线C的极坐标方程为,
即.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
当 时, ,
所以△MON面积的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数的定义域为;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最大值,若实数, , 满足,求的最小值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: , ,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
【答案】(1)答案见解析;(2) ;(3)中度高血压人群.
【解析】试题分析:(1)将数据对应描点,即得散点图,(2)先求均值,再代人公式求,利用求,(3)根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值,再求与标准值的倍数,确定所属人群.
试题解析:(1)
(2)
∴
∴回归直线方程为.
(3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为(mmHg)∵
∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,四棱柱的底面为菱形, , , 为中点.
(1)求证: 平面;
(2)若底面,且直线与平面所成线面角的正弦值为,求的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】济南市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求第四个小矩形的高,并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分;
(2)已知样本中,成绩在[140,150]内的有2名女生,现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流,求选取的两人中至少有一名女生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为, ,且离心率为, 为椭圆上任意一点,当时, 的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点,延长直线, 分别与椭圆交于点, ,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证: 为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)设由题,由此求出,可得椭圆的方程;
(2)设, ,
当直线的斜率不存在时,可得;
当直线的斜率不存在时,同理可得.
当直线、的斜率存在时,,
设直线的方程为,则由消去通过运算可得
,同理可得,由此得到直线的斜率为,
直线的斜率为,进而可得.
试题解析:(1)设由题,
解得,则,
椭圆的方程为.
(2)设, ,
当直线的斜率不存在时,设,则,
直线的方程为代入,可得,
, ,则,
直线的斜率为,直线的斜率为,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得.
当直线、的斜率存在时,,
设直线的方程为,则由消去可得:
,
又,则,代入上述方程可得
,
,则
,
设直线的方程为,同理可得,
直线的斜率为,
直线的斜率为,
.
所以,直线与的斜率之积为定值,即.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数, ,在处的切线方程为.
(1)求, ;
(2)若方程有两个实数根, ,且,证明: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其中是按直线上升的房价,是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
t | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
/万元 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
/万元 | 20 | 40 | 80 |
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
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