Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】

试题分析:(1) 由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC,根据线面平行的判定定理得证;(2)由CC1⊥平面ABC,可得AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，进而可得B1C⊥AC,又BC1⊥B1C,证得BC1⊥平面B1AC,故命题成立.

试题解析:

(1)由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1，

又因为BC1平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.