Question

【题目】如图所示，椭圆： （）的离心率为，左焦点为，右焦点为，短轴两个端点、，与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点坐标；

（3）当弦的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；（3）由（2）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x0和y0，易判断p点在x轴上方，从而得一关于x0，y0的不等式组，将坐标代入，解出即可；

解析：

（1）由题意可知：椭圆的离心率， ∴，

故椭圆的方程为

（2）设直线的方程为， ， 坐标分别为，

由得

.

∴， ，

∴， 。

∴=

将韦达定理代入，并整理得

，解得

.

∴直线与轴相交于定点；

（3）由（2）中，

其判别式，得.①

设弦的中点坐标为，则

，

∵弦的中点落在内（包括边界），∴

将坐标代入，整理得

解得

由①②得所求范围为或