Question

【题目】如图所示，平面平面，四边形为矩形， ，点为的中点.

(1)证明： 平面.

(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得？若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）中点

【解析】试题分析：

（1）连接交于，连接，利用是矩形得到，再由线面平行的判定定理可证；

（2）当为中点时，有；取中点，连接，结合三角形的中位线性质以及面面平行的性质进行推理得到平面即可.

试题解析：

(1)证明　连接AC交BD于O，连接OF，如图①.

∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，

∴OF为△ACE的中位线，:∴OF∥AE，又OF平面BDF，

AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.

（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，
证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，
如图

∵P为AE的中点，H为BE的中点，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四点共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H为BE的中点，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE