Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+b）cosC+ccosB=0．
（2）求∠C；
（2）若a、b、c成等差数列，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的通项公式

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，根据sinA不为0，求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将c=10-a，b=5，cosC的值代入求出ab的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosC，
即sin（B+C）=-2sinAcosC，
变形得：sinA=-2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
则∠C=120°；
（2）∵b=5，a+c=10，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=（10-a）²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=（a+5）²-5a，可解得a=3．
故得：ab=15，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×15×

3

2

=

15 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．