Question

已知动圆∴a²+c²-b²=

2

3

ac，b=2过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C
（1）求曲线C方程；
（2）点A为直线l：x-y-2=0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动圆圆心坐标为C（x，y），根据题意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，化简即可得出；
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立可得x²-4kx-4b=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得根与系数的关系，△=16k²+16b＞0，
以点P为切点的切线的斜率为y′=

1

2

x1，其切线方程为：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，同理过点Q的切线的方程为y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
设两条切线的交点为A（x₀，y₀）在直线x-y-2=0上，联立切线方程可得A（2k，-b）．可得b=2-2k，代入△＞0恒成立，利用弦长公式|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
点到直线的距离公式可得：点A到直线PQ的距离d，再利用三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设动圆圆心坐标为C（x，y），根据题意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，
化简得x²=4y．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，
由

x2=4y y=kx+b

消去y得x²-4kx-4b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，且△=16k²+16b＞0，
以点P为切点的切线的斜率为y′=

1

2

x1，其切线方程为：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，
化为y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，
同理过点Q的切线的方程为y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
设两条切线的交点为A（x₀，y₀）在直线x-y-2=0上，
联立

y= 1 2 x1x- 1 4 x 2 1 y= 1 2 x2x- 1 4 x 2 2

，解得

x0= x1+x2 2 =2k y0= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b）．
∴2k+b-2=0，即b=2-2k，
代入△＞0，可得16（k-1）²+16＞0．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

1+k2

k2+b

．
点A到直线PQ的距离d=

|2k2+2b|

1+k2

，
∴S_△APQ=

1

2

|PQ|•d=4|k2+b|•

k2+b

=4(k2+b)

3

2

=4[(k-1)2+1]

3

2

，
当且仅当k=1时，S_△APQ取得最小值，其最小值为4，此时点A的坐标为（2，0）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性、导数的几何意义、切线方程，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．