Question

直线L与双曲线

x2

4

-

y2

5

=1相交于A，B两点，点N满足

AN

=

NB

，且点N的坐标是（-12，-15），则直线L必过双曲线的（　　）

• A、左顶点
• B、右顶点
• C、左焦点
• D、右焦点

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：判断N为AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式，及点在双曲线上，得到方程，再作差运用平方差公式和斜率公式，求得AB的斜率，进而得到直线AB的方程，令y=0，解得x，即可判断．

解答： 解：点N满足

AN

=

NB

，
则N为AB的中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-24，y₁+y₂=-30，

x12

4

-

y12

5

=1，

x22

4

-

y22

5

=1，
两式相减得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

=

(y1-y2)(y1+y2)

5

，
即有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

5×(-24)

4×(-30)

=1，
则有AB：y+15=x+12，
即有y=x-3．
令y=0，则x=3．
则经过右焦点F（3，0）．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法解决中点弦问题，考查运算能力，属于中档题．