Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M、N分别是A₁B和AC的中点．
（1）求异面直线A₁B与AC所成角；
（2）求证：MN∥平面BB₁C₁C．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁C₁，BC₁，证得AA₁C₁C是平行四边形，得到AC∥A₁C₁，则∠BA₁C₁是A₁B与AC所成角或其补角，再由
三角形A₁BC₁是正三角形，即可得到所成的角；
（2）连接AB₁，交A₁B为M，连接B₁C，由中位线定理得到MN∥B₁C，再由线面平行的判定定理，即可得证．

解答： （1）解：连接A₁C₁，BC₁，
∵AA₁∥BB₁，BB₁∥CC₁，
∴AA₁∥CC₁，又AA₁=CC₁，
∴AA₁C₁C是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁是A₁B与AC所成角或其补角，
∵A₁B=A₁C₁=BC₁，
∴三角形A₁BC₁是正三角形，
∴∠BA₁C₁=60°，
∴A₁B与AC所成角是60°；
（2）证明：连接AB₁，交A₁B为M，连接B₁C，
在三角形AB₁C中，M，N分别为AC，AB₁的中点，则MN∥B₁C，
∵MN?平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．

点评：本题考查空间直线与平面平行的判定定理和空间两异面直线所成的角的求法，注意运用平面几何中的有关定理，本题属于中档题．