Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点为(0,),一条渐近线方程为y=x,其中{a_n}是以4为首项的正数数列,记P_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n.

(1)求数列{c_n}的通项公式;

(2)若数列{c_n}的前n项的和为S_n,求;

(3)若不等式+log_a(2x+1)(a＞0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵双曲线方程为=1,焦点为(0,),

∴c_n=a_n+a_n-1.

又∵一条渐近线方程为y=x,

∴.

∴=2.

∵a₁=4,∴{a_n}是以4为首项的等比数列,

a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.

(2)S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ-1).

∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,

∴P_n=3(2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹)=8(2^2n-1).∴.

(3)S=,①

S=,②

①-②得S=,

故原不等式等价于+log_a(2x+1)(n∈N^*)恒成立,

∴log_a(2x+1)≥0恒成立,

故(ⅰ)当a＞1时,2x+1≥1,∴x≥0.

(ⅱ)当0＜a＜1时,0＜2x+1≤1-＜x≤0.