Question

17．已知{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（I）求{a_n}的通项公式及$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和；
（Ⅱ）设S_n表示{a_n}的前n项和，{b_n}是首项为2的等比数列，公比q满足q²-（a₄+1）q+S₄=0，求{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据等差数列的通项公式得到{a_n}的通项公式，利用裂项相消法求$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和；
（Ⅱ）通过q²-（a₄+1）q+S₄=0，求出等比数列的公比，然后求{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

解答 解：（I）因为{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
故$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$．
有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．
设Tn
（ II）由（ I）得，${S_n}=1+3+…+（{2n-1}）=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}=\frac{{n（{1+2n-1}）}}{2}={n^2}$，a₄=7，S₄=16．
因为q²-（a₄+1）q+S₄=0，即q²-8q+16=0．
所以（q-4）²=0，从而q=4．
又因b₁=2，是{b_n}公比q=4的等比数列，所以b_n=b_1q^n-1=2×4^n-1=2^2n-1．
从而得{b_n}的前n项和T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．