Question

8．（1）函数$f（x）=log{{\;}_a^{（x+3）}}-1$（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0．求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．
（2）已知$x，y∈（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$且xy=-1．求$s=\frac{3}{{3-{x^2}}}+\frac{12}{{12-{y^2}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过函数经过的定点，得到m，n的关系，利用基本不等式求解表达式的最值．
（2）先将关于s的表达式整理，再根据xy=1，由基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=log{{\;}_a^{（x+3）}}-1$（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），
点A在直线mx+ny+1=0上，则，2m+n=1，mn＞0．
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$$+\frac{2m}{n}$$≥3+2\sqrt{2}$，当且仅当n=$\sqrt{2}$m，并且2m+n=1时取等号．
表达式的最小值为：3$+2\sqrt{2}$．
（2）解：$s=\frac{3}{{3-{x^2}}}+\frac{12}{{12-{y^2}}}$=$\frac{3（12-{y}^{2}）+12（3-{x}^{2}）}{（3-{x}^{2}）（12-{y}^{2}）}$=$\frac{72-12{x}^{2}-3{y}^{2}}{36-12{x}^{2}-3{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{2}}$，
∵xy=-1，∴x²y²=1，
∴s=$\frac{72-12{x}^{2}-3{y}^{2}}{36-12{x}^{2}-3{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{2}}$=1+$\frac{35}{37-12{x}^{2}-3{y}^{2}}$，
∵12x²+3y²≥2$\sqrt{36{x}^{2}{y}^{2}}$=12，
∴s≥1+$\frac{35}{37-12}$=$\frac{12}{5}$，
当且仅当“12x²=3y²”即x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}$或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=-$\sqrt{2}$时“=”成立，
表达式的最小值为：$\frac{12}{5}$

点评 本题考查了函数的最值问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．