Question

13．设x、y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，则x²+y²的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用x²+y²的几何意义求最小值．

解答 解：设z=x²+y²，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图
原点到直线x+y-1=0的距离最小．
由点到直线的距离公式得d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以z=x²+y²的最小值为z=d²=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．